题目：平面向量“迷你向量”与蚂蚁路径问题

题目描述：

对于两个平面向量 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，如果有

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}>0$$

则称向量 $\overrightarrow{a}$ 是向量 $\overrightarrow{b}$ 的“迷你向量”。

（1）若 $\overrightarrow{m}=(1,x)$，$\overrightarrow{n}=(2,1-x)$，$\overrightarrow{m}$ 是 $\overrightarrow{n}$ 的“迷你向量”，求实数 $x$ 的取值范围。

（2）一只蚂蚁从坐标原点 $O(0,0)$ 沿最短路径爬行到点 $N(n,2)$ 处（$n\in \mathbb{N}$ 且 $n\ge 2$）。蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，要求爬行路径最短。爬完第 $i$ 次后停留的位置记为 $P_i(1\le i\le n+2)$，设 $M(n-1,0)$。记事件 $T$ = “蚂蚁经过的路径中至少有 $n$ 个 $P_i$ 使得 $\overrightarrow{OM}$ 是 $\overrightarrow{O{P}_i}$ 的迷你向量”。（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）

① 当 $n=3$ 时，求 $P(T)$；

② 当 $n\in \mathbb{N}$ 且 $n\ge 2$ 时，证明：

$$P(T)\le \frac{1}{2}$$

---

解题思路与动态规划（DP）核心解析

第一问

根据定义，代入向量坐标：

$$(1,x)\cdot (2,1-x)-(1^2+x^2)>0$$

化简得：

$$(2+x-x^2)-(1+x^2)>0$$$$1+x-2x^2>0⟹2x^2-x-1<0$$

因式分解得：

$$(2x+1)(x-1)<0$$

解得实数 $x$ 的取值范围为：

$$-\frac{1}{2}<x<1$$

第二问（核心：DP方法的推导）

条件转换： 对于 $\overrightarrow{OM}=(n-1,0)$ 是 $\overrightarrow{O{P}_i}=(x_i,y_i)$ 的“迷你向量”，必须满足：

$$(n-1)x_i-(n-1{)}^2>0⟹x_i>n-1⟹x_i=n$$

这意味着蚂蚁必须到达第 $n$ 步向右的位置（即横坐标为 $n$）。

动态规划（DP）思路： 设 $dp[i][j]$ 表示从坐标原点 $(0,0)$ 走到 $(i,j)$ 的最短路径总数。 状态转移方程为：

$$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$$

则到达终点 $N(n,2)$ 的总路径数为 $dp[n][2]$。

为了满足事件 $T$（即至少经过 $n$ 个横坐标为 $n$ 的点），蚂蚁必须在前 3 步内完成 $n$ 次向右的移动。 也就是说，在前 3 步中，蚂蚁正好向右移动了 $n$ 次，向上移动了 $3-n$ 次。 因此，蚂蚁必定会经过点 $(n,3-n)$。 所以满足条件的事件路径数为 $dp[n][3-n]$。

概率公式总结：

$$P(T)=\frac{dp[n][3-n]}{dp[n][2]}$$

分类讨论验证：

• 当 $n=2$ 时：

$$P(T)=\frac{dp[2][1]}{dp[2][2]}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

（满足条件的路径为：RRU, RUR, URR）

• 当 $n=3$ 时：

$$P(T)=\frac{dp[3][0]}{dp[3][2]}=\frac{1}{10}$$

（满足条件的路径为：RRRUU）

• 当 $n\ge 4$ 时： 此时 $3-n$ 为负数，$dp[n][3-n]$ 不存在（即路径数为 $0$），故：

$$P(T)=0$$

第②问证明：

因为 $n\ge 2$，通过上述分类讨论可知，概率的最大值在 $n=2$ 时取得，为 $\frac{1}{2}$。 因此，对于所有 $n\in \mathbb{N}$ 且 $n\ge 2$，都有：

$$P(T)\le \frac{1}{2}$$

证明完毕。# “迷你向量”与蚂蚁路径问题

题目描述：

对于两个平面向量 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，如果有 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}>0$，则称向量 $\overrightarrow{a}$ 是向量 $\overrightarrow{b}$ 的“迷你向量”。

(1) 若 $\overrightarrow{m}=(1,x)$，$\overrightarrow{n}=(2,1-x)$，$\overrightarrow{m}$ 是 $\overrightarrow{n}$ 的“迷你向量”，求实数 $x$ 的取值范围。

(2) 一只蚂蚁从坐标原点 $O(0,0)$ 沿最短路径爬行到点 $N(n,2)$ 处（$n\in \mathbb{N}$ 且 $n\ge 2$）。蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，要求爬行路径最短，爬完第 $i$ 次后停留的位置记为 $P_i(1\le i\le n+2)$，设 $M(n-1,0)$。记事件 $T$ = “蚂蚁经过的路径中至少有 $n$ 个 $P_i$ 使得 $\overrightarrow{OM}$ 是 $\overrightarrow{O{P}_i}$ 的迷你向量”。（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的）

① 当 $n=3$ 时，求 $P(T)$；

② 当 $n\in \mathbb{N}$ 且 $n\ge 2$ 时，证明：$P(T)\le \frac{1}{2}$.

---

解析与动态规划思路

第(1)问

根据定义 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{a}>0$，代入向量得：

$$(1,x)\cdot (2,1-x)-(1^2+x^2)>0$$$$(2+x-x^2)-(1+x^2)>0$$$$1+x-2x^2>0⟹2x^2-x-1<0$$$$(2x+1)(x-1)<0⟹-\frac{1}{2}<x<1$$

第(2)问 - 动态规划方法

要使得 $\overrightarrow{OM}=(n-1,0)$ 是 $\overrightarrow{O{P}_i}=(x_i,y_i)$ 的迷你向量，需满足：

$$(n-1)x_i-(n-1{)}^2>0⟹x_i>n-1⟹x_i=n$$

这意味着蚂蚁必须在路径中到达第 $n$ 次向右走的位置。

令 dp[i][j] 为从 $(0,0)$ 走到 $(i,j)$ 的最短路径数量。 递推公式为：

$$dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]$$

到达终点 $N(n,2)$ 的总路径数为 $dp[n][2]$。

要满足事件 $T$（至少有 $n$ 个点 $x_i=n$），蚂蚁必须在最初 3 步内到达 $x=n$。这意味着在前 3 步中，蚂蚁恰好走了 $n$ 步向右，$3-n$ 步向上。 因此，蚂蚁必须经过点 $(n,3-n)$。 所以，满足事件 $T$ 的路径数即为 $dp[n][3-n]$。

因此，概率为：

$$P(T)=\frac{dp[n][3-n]}{dp[n][2]}$$

情况验证：

• 当 $n=2$ 时：

$$P(T)=\frac{dp[2][1]}{dp[2][2]}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

（对应路径：RRU, RUR, URR）

• 当 $n=3$ 时：

$$P(T)=\frac{dp[3][0]}{dp[3][2]}=\frac{1}{10}$$

（对应路径：RRRUU）

• 当 $n\ge 4$ 时：

此时 $3-n<0$，所以 $dp[n][3-n]=0$。

$$P(T)=0$$

第(2)问② 证明： 因为 $n\ge 2$，由上述计算可知，最大概率出现在 $n=2$ 时，最大值为 $\frac{1}{2}$。 因此，对任意 $n\in \mathbb{N}$ 且 $n\ge 2$，都有：

$$P(T)\le \frac{1}{2}$$