1. 质点系动能定理

表达式

$$\mathrm{\Delta }{E}_k=\sum W_{\text{ext}}+\sum W_{\text{int}}$$

• $\sum W_{\text{ext}}$：所有外力做功之和
• $\sum W_{\text{int}}$：所有内力做功之和

说明：内力做功之和一般不为零（区别于动量定理），可改变系统总动能。

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2. 完全非弹性碰撞中的动能损失

系统：质量 $M$、$m$，初速 $v_1$、$v_2$（一维），相对速度 $v_{\text{rel}}=v_1-v_2$。碰撞后粘为一体，共同速度 $V$。

2.1 共同速度（动量守恒）

$$M{v}_1+m{v}_2=(M+m)V\Rightarrow V=\frac{M{v}_1+m{v}_2}{M+m}$$

2.2 动能损失（质点系动能定理 + 质心系）

质心速度 $v_c=V$。质心系中两物体速度：

$$u_1=v_1-v_c=\frac{m}{M+m}{v}_{\text{rel}},u_2=v_2-v_c=-\frac{M}{M+m}{v}_{\text{rel}}$$

质心系总动能：

$$E_{k,\text{cm}}=\frac{1}{2}M{u}_1^2+\frac{1}{2}m{u}_2^2=\frac{1}{2}\frac{Mm}{M+m}{v}_{\text{rel}}^2$$

完全非弹性碰撞后相对速度为零，质心系动能全部损失。由质点系动能定理，损失的动能等于内力做的总功（负值）：

$$\mathrm{\Delta }{E}_k=E_{k,\text{cm}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{Mm}{M+m}\cdot v_{\text{rel}}^2$$$$W_{\text{int}}=-\mathrm{\Delta }{E}_k$$

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3. 约化质量

定义

$$\mu =\frac{Mm}{M+m}$$

性质

• $\frac{1}{\mu }=\frac{1}{M}+\frac{1}{m}$，$\mu \le min(M,m)$
• 相对运动动能 $E_{\text{rel}}=\frac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2$

推导（两体相对运动）

$$\ddot{\overrightarrow{r}}={\ddot{\overrightarrow{r}}}_1-{\ddot{\overrightarrow{r}}}_2=\frac{{\overrightarrow{F}}_{12}}{M}-\frac{{\overrightarrow{F}}_{21}}{m}={\overrightarrow{F}}_{12}(\frac{1}{M}+\frac{1}{m})=\frac{{\overrightarrow{F}}_{12}}{\mu }$$$$\Rightarrow \mu \ddot{\overrightarrow{r}}={\overrightarrow{F}}_{12}$$

即相对运动等价于质量为 $\mu$ 的质点在力 ${\overrightarrow{F}}_{12}$ 下的运动。

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4. 核心关系总结

概念	表达式
动能损失（完全非弹性碰撞）	$\mathrm{\Delta }{E}_k=\frac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}^2$
内力做功	$W_{\text{int}}=-\mathrm{\Delta }{E}_k$
约化质量	$\mu ={\displaystyle \frac{Mm}{M+m}}$