1. 质点系动能定理

表达式

$\Delta E_k = \sum W_{\text{ext}} + \sum W_{\text{int}}$

• $\sum W_{\text{ext}}$：所有外力做功之和
• $\sum W_{\text{int}}$：所有内力做功之和

说明：内力做功之和一般不为零（区别于动量定理），可改变系统总动能。

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2. 完全非弹性碰撞中的动能损失

系统：质量 $M$、$m$，初速 $v_1$、$v_2$（一维），相对速度 $v_{\text{rel}} = v_1 - v_2$。碰撞后粘为一体，共同速度 $V$。

2.1 共同速度（动量守恒）

$M v_1 + m v_2 = (M+m)V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{M v_1 + m v_2}{M+m}$

2.2 动能损失（质点系动能定理 + 质心系）

质心速度 $v_c = V$。质心系中两物体速度：

$u_1 = v_1 - v_c = \frac{m}{M+m}v_{\text{rel}}, \qquad u_2 = v_2 - v_c = -\frac{M}{M+m}v_{\text{rel}}$

质心系总动能：

$E_{k,\text{cm}} = \frac12 M u_1^2 + \frac12 m u_2^2 = \frac12 \frac{Mm}{M+m} v_{\text{rel}}^2$

完全非弹性碰撞后相对速度为零，质心系动能全部损失。由质点系动能定理，损失的动能等于内力做的总功（负值）：

$\Delta E_k = E_{k,\text{cm}} = \frac12 \cdot \frac{Mm}{M+m} \cdot v_{\text{rel}}^2$

$W_{\text{int}} = -\Delta E_k$

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3. 约化质量

定义

$\mu = \frac{Mm}{M+m}$

性质

• $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{M} + \frac{1}{m}$，$\mu \le \min(M,m)$
• 相对运动动能 $E_{\text{rel}} = \frac12 \mu v_{\text{rel}}^2$

推导（两体相对运动）

$\ddot{\vec{r}} = \ddot{\vec{r}}_1 - \ddot{\vec{r}}_2 = \frac{\vec{F}_{12}}{M} - \frac{\vec{F}_{21}}{m} = \vec{F}_{12}\left(\frac1M+\frac1m\right) = \frac{\vec{F}_{12}}{\mu}$

$\Rightarrow \mu \ddot{\vec{r}} = \vec{F}_{12}$

即相对运动等价于质量为 $\mu$ 的质点在力 $\vec{F}_{12}$ 下的运动。

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4. 核心关系总结

概念	表达式
动能损失（完全非弹性碰撞）	$\Delta E_k = \frac12 \mu v_{\text{rel}}^2$
内力做功	$W_{\text{int}} = -\Delta E_k$
约化质量	$\mu = \dfrac{Mm}{M+m}$