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title: "质点系动能定理与约化质量笔记"
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## 1. 质点系动能定理

**表达式**
$$
\Delta E_k = \sum W_{\text{ext}} + \sum W_{\text{int}}
$$

- $\sum W_{\text{ext}}$：所有外力做功之和  
- $\sum W_{\text{int}}$：所有内力做功之和  

**说明**：内力做功之和一般不为零（区别于动量定理），可改变系统总动能。

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## 2. 完全非弹性碰撞中的动能损失

系统：质量 $M$、$m$，初速 $v_1$、$v_2$（一维），相对速度 $v_{\text{rel}} = v_1 - v_2$。碰撞后粘为一体，共同速度 $V$。

### 2.1 共同速度（动量守恒）
$$
M v_1 + m v_2 = (M+m)V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{M v_1 + m v_2}{M+m}
$$

### 2.2 动能损失（质点系动能定理 + 质心系）

质心速度 $v_c = V$。质心系中两物体速度：
$$
u_1 = v_1 - v_c = \frac{m}{M+m}v_{\text{rel}}, \qquad
u_2 = v_2 - v_c = -\frac{M}{M+m}v_{\text{rel}}
$$

质心系总动能：
$$
E_{k,\text{cm}} = \frac12 M u_1^2 + \frac12 m u_2^2 
= \frac12 \frac{Mm}{M+m} v_{\text{rel}}^2
$$

完全非弹性碰撞后相对速度为零，质心系动能全部损失。由质点系动能定理，损失的动能等于内力做的总功（负值）：
$$
\Delta E_k = E_{k,\text{cm}} = \frac12 \cdot \frac{Mm}{M+m} \cdot v_{\text{rel}}^2
$$
$$
W_{\text{int}} = -\Delta E_k
$$

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## 3. 约化质量

**定义**
$$
\mu = \frac{Mm}{M+m}
$$

**性质**
- $\frac{1}{\mu} = \frac{1}{M} + \frac{1}{m}$，$\mu \le \min(M,m)$
- 相对运动动能 $E_{\text{rel}} = \frac12 \mu v_{\text{rel}}^2$

**推导（两体相对运动）**
$$
\ddot{\vec{r}} = \ddot{\vec{r}}_1 - \ddot{\vec{r}}_2 = \frac{\vec{F}_{12}}{M} - \frac{\vec{F}_{21}}{m}
= \vec{F}_{12}\left(\frac1M+\frac1m\right) = \frac{\vec{F}_{12}}{\mu}
$$
$$
\Rightarrow \mu \ddot{\vec{r}} = \vec{F}_{12}
$$
即相对运动等价于质量为 $\mu$ 的质点在力 $\vec{F}_{12}$ 下的运动。

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## 4. 核心关系总结

| 概念 | 表达式 |
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| 动能损失（完全非弹性碰撞） | $\Delta E_k = \frac12 \mu v_{\text{rel}}^2$ |
| 内力做功 | $W_{\text{int}} = -\Delta E_k$ |
| 约化质量 | $\mu = \dfrac{Mm}{M+m}$ |